Em tempos de pandemia, uma das ferramentas mais úteis na elaboração de estratégias para conter o avanço e danos do Sars-COV 2 é a simulação computacional. Com diferentes modelos de contágio da população, recuperação e evolução do número geral comparando-se a população infectada e o número de leitos disponíveis por exemplo, é possível fazer planejamentos sérios e prever diferentes cenários. A ATS- Aerothermal Solutions (ats4i.com.br) desenvolveu estudos originais baseado na literatura aberta sobre a situação no Brasil e no estado de São Paulo utilizando diferentes modelos de infecção. Isso faz parte de uma colaboração pro-bono da ATS com o IPT (Institutos de Pesquisas Tecnológicas) no esforço humanitário de prever a demanda de UTI e de respiradores para o Estado de São Paulo. O modelo foi validado com dados reais de vários países como China, Alemanha, Espanha, Bélgica e Brasil.Neste artigo, exploraremos o modelo SIR: um modelo biológico de dinâmica populacional que surgiu no início do século XX, sendo o precursor de todos os modelos epidemiológicos posteriores e que também foi utilizado na ATS para análises iniciais que foram aprimoradas e serão discutidas em próximos artigos.
Esse método é importante na situação atual porque, sendo capaz de prever a evolução da doença numa dada região ou país, é possível prever quando se dará o pico maior de infecções e mortes. É possível, então, comparar esse número ao de leitos disponíveis nessa mesma região para verificar e classificar a situação da pandemia localmente. Recentemente o conceito de achatar a curva esteve bastante em evidência justamente por isso: trata-se de uma diluição do número de infectados em função do tempo para evitar o colapso dos sistemas de saúde. Matematicamente, esse é um resultado obtido de acordo com o modelo SIR, que será explorado adiante.
Modelo Matemático SIR
O modelo SIR leva em conta a divisão de uma população de tamanho N, atingida por uma doença, em três subgrupos. O primeiro deles é o grupo S, composto pelas pessoas que estão susceptíveis ao contágio, I as pessoas infectadas e R o grupo dos recuperados. Este último é o grupo que reúne ambos os indivíduos que, de fato, se recuperaram da doença como os que perderam a vida. A maneira como esses três grupos evoluem num espaço de tempo é representada por S(t), I(t) e R(t). Primeiramente, desconsideram-se taxas de nascimento e mortalidade da população no geral, de maneira que o número total N permaneça o mesmo durante a evolução da doença. Isso é importante, uma vez que as taxas de recuperação e infecção/mortalidade pela COVID-19 são acontecimentos rápidos, num espaço de apenas algumas semanas. A partir dessas três taxas, é possível fazer a previsão da população de um país, utilizando-se os dados divulgados pelos órgãos de saúde de cada localidade.
A população susceptível ao contágio é, inicialmente, toda a população, sendo as taxas de infecção e recuperação igual a 0 no momento justamente anterior à confirmação do primeiro caso no país, quando os indivíduos são atribuídos ao grupo I. Quando os primeiros casos de infecção são confirmados, considera-se a variável de velocidade de infecção no tempo da doença, que tem um papel fundamental na análise: quanto maior a velocidade de infecção, o pico da curva chega mais rapidamente também, o que, em termos de saúde pública, é perigoso. Isso porque não há como garantir um número excessivamente grande de infectados necessitando de leitos de UTI como é o caso de vários pacientes acometidos pela COVID-19. A partir desses dados, a curva de infectados em função do tempo é construída.
Da mesma maneira que a variável de velocidade de infecção no tempo surge, felizmente também surge a taxa de recuperação no tempo. Essa é a taxa à qual o número de indivíduos se recupera em função do tempo ou que, infelizmente, perdem a vida, atribuídos ao grupo R. Por exemplo, dada 1 semana de análise, quantas pessoas se recuperaram ou morreram no país/estado? A partir desses dados, então, constrói-se a evolução do número de recuperados em função do tempo.
Agora, temos em mãos as taxas de evolução dos grupos I e R em função do tempo. O grupo S, no geral, terá uma evolução de acordo com a velocidade de infecção no tempo em relação ao número total de indivíduos na população. Já o grupo de infectados, I, variará de acordo com o número efetivo de infectados, porém diminuído da taxa de recuperação no tempo. Essa taxa, por sua vez, é a única que afetará o número de indivíduos no grupo R.
Matematicamente, as variações dos três grupos são escritas como equações diferenciais ordinárias, basicamente, como a já dita evolução temporal do crescimento/decaimento dos três grupos. Essas equações estão mostradas abaixo. Nelas, corresponde à velocidade de infecção no tempo e a taxa de recuperação no tempo.
A solução dessas equações fornece a variação de cada grupo individual. Comparando-os, pode-se ter uma ideia sobre o pico máximo de contaminação, por exemplo. Abaixo, o gráfico para o Brasil acompanha a evolução dos três grupos em função do tempo, permitindo previsões importantes quanto ao pico de infecções no país.
O pico da curva vermelha deve ser utilizado para o cálculo percentual da necessidade de leitos de UTI. As medidas de distanciamento social têm como função a diluição desse número máximo de infectados para que, percentualmente, esse percentual obtido pela curva vermelha seja menor que o número disponível de leitos de UTI.
Colaboração para desenvolvimento do modelo SIR-D
Como implementação ao modelo SIR, a ATS, em colaboração com Giuliano Belinassi, do Instituto de Matemática e Estatística da USP, efetuou a divisão do grupo R em dois subgrupos: o de óbitos e os que efetivamente se curaram da COVID-19. Essa mudança, matematicamente, não altera a forma das equações diferenciais citadas antes, mas fornece informações preciosas sobre a evolução da doença na sociedade. Esse modelo recebe o nome de SIR-D. Aplicado à sociedade brasileira, por exemplo, obtém-se os resultados apresentados na figura abaixo, que compara as previsões com a situação real do Brasil de acordo com dados divulgados pelos órgãos de saúde. Em azul, o grupo S das pessoas susceptíveis; em laranja, dados oficiais sobre número de infectados; em vermelho, dados sobre os, de fato, recuperados pela doença; em roxo, o grupo R no geral (recuperados e mortos); em marrom os números oficiais de mortes no país; finalmente, em rosa, o número estimado de mortes.
As Equações do Modelo Matemático
As equações resolvidas para o modelo SIR-D estão apresentadas abaixo, onde o termo correspondente ao número de recuperados é dividido em duas novas variáveis, e , que também evoluem no tempo e correspondem às taxas de curados e mortos, respectivamente.
O modelo SIR é o mais simplista a ser considerado numa situação pandêmica, uma vez que desconsidera as taxas de nascimento e mortalidade dos indivíduos, mas essa não é a sua única simplificação. Em contextos diferentes, as aplicações do modelo SIR também podem variar. O modelo SIR é importante e foi o precursor de todos os outros modelos epidemiológicos que serão apresentados no decorrer dessa série, além de ter aplicações em diferentes contextos mostram alguns estudos: espalhamento de vírus de internet, marketing digital, mídias sociais e finanças/economia.
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